题目内容

【题目】已知二次函数y=﹣x2+2x+m.
(1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;
(2)如图,二次函数的图象过点A(3,0),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.

(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.

【答案】
(1)解:∵二次函数的图象与x轴有两个交点,

∴△=22+4m>0

∴m>﹣1


(2)解:∵二次函数的图象过点A(3,0),

∴0=﹣9+6+m

∴m=3,

∴二次函数的解析式为:y=﹣x2+2x+3,

令x=0,则y=3,

∴B(0,3),

设直线AB的解析式为:y=kx+b,

,解得:

∴直线AB的解析式为:y=﹣x+3,

∵抛物线y=﹣x2+2x+3,的对称轴为:x=1,

∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2,

∴P(1,2)


(3)解:根据函数图象可知:x<0或x>3
【解析】(1)二次函数的图象与x轴有两个交点,则△>0,从而可求得m的取值范围;(2)由点B、点A的坐标求得直线AB的解析式,然后求得抛物线的对称轴方程为x=1,然后将x=1代入直线的解析式,从而可求得点P的坐标;(3)一次函数值大于二次函数值即直线位于抛物线的上方部分x的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点,需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.才能正确解答此题.

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