题目内容

如图,在直角坐标系中,正方形ABOD的边长为a,O为原点,点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上,直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上的一点C(-
3
5
a
,0)且与OE平行,现正方形以每秒
a
10
的速度匀速沿x轴正方向平行移动,设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系式;
(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系式,在这个范围内S有无最大值?若有,请求出最大值,若没有请说明理由.
(1)当0≤t<4时,如图1,由图可知OM=
a
10
t

设经过t秒后,正方形移动到A1B1MN
∵当t=4时,BB1=OM=
a
10
×4=
2
5
a
∴点B1在C点左侧
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,其面积为:
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∵CO=
3
5
a
,OD=a
∴四边形COPG面积=
3
5
a2
又∵点P的纵坐标为a,代入y=2x得P(
a
2
,a)
∴DP=
a
2
,NP=
a
2
-
a
10
t
由y=2x知:NQ=2NP
∴△NPQ面积=
1
2
•NP•NQ=(
a
2
-
a
10
t)2
∴S=
3
5
a2-(
a
2
-
a
10
t)2=
3
5
a2-
a2
100
(5-t)2=
a2
100
[60-(5-t)2];

(2)当4≤t≤5时,如图2,这时正方形移动到A1B1MN
∵当4≤t≤5时,
2
5
a
≤BB1
1
2
a
,点B1在C、O点之间
∴夹在两平行线间的部分是B1OQNGR,
即平行四边形COPG被切掉了两个小三角形△NPQ和△CB1R,其面积为:
平行四边形COPG的面积-△NPQ的面积-△CB1R的面积
与(1)同理,OM=
a
10
t,NP=
a
2
-
a
10
t,S△NPQ=(
a
2
-
a
10
t)2
∵CO=
3
5
a
,CM=
3
5
a+
a
10
t,B1M=a,
∴CB1=CM-B1M=
3
5
a+
a
10
t-a=
a
10
t-
2
5
a,
∴S△CB1R=
1
2
CB1•B1R=(CB12=(
a
10
t-
2
5
a)2,
∴S=
3
5
a2-(
1
2
a-
a
10
t)2-(
a
10
t-
2
5
a)2=
3
5
a2-
a2
100
[2(t-
9
2
2+
1
2
],
∴当t=
9
2
时,S有最大值,Smax=
119
200
a2
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