Question

已知抛物线y=-x²-2x+a（a＞0）与y轴相交于点A，顶点为M．直线y=

1

2

x+

1

2

a与x轴相交于B点，与直线AM相交于N点；直线AM与x轴相交于C点
（1）求M的坐标与MA的解析式（用字母a表示）；
（2）如图，将△NBC沿x轴翻折，若N点的对应点N′恰好落在抛物线上，求a的值；
（3）在抛物线y=-x²-2x+a（a＞0）上是否存在一点P，使得以P、B、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）已知抛物线：y=-x²-2x+a=-（x+1）²+a+1；
∴M（-1，a+1），
易知：A（0，a），设直线MA的解析式为y=kx+b，则有：

b=a -k+b=a+1

，
解得

k=-1 b=a

，
∴直线MA：y=-x+a；

（2）联立直线MA、直线BN的解析式有：

y=-x+a y= 1 2 x+ 1 2 a

，
解得

x= a 3 y= 2a 3

故N（

a

3

，

2

3

a）；
由题意知：N、N′关于x轴对称，那么N′（

a

3

，-

2a

3

）；
若点N′在抛物线的图象上，则有：
-（

a

3

）²-

2a

3

+a=-

2a

3

，
解得a=9．
故点N′恰好落在抛物线上时，a=9；

（3）分别过B、C、N作NC、BN、BC的平行线（如图），则四边形BP₁CN、四边形BCP₂N、四边形BCNP₃都是平行四边形；
易知B（-a，0），C（a，0），N（

a

3

，

2a

3

）；
故P₁（-

1

3

a，-

2

3

a），P₂（

7

3

a，

2

3

a），
P₃（-

5

3

a，

2

3

a）；
把P₁代入抛物线的解析式中，得：
-（-

1

3

a）²-2（-

1

3

a）+a=-

2

3

a，
解得a=21；
把P₂代入抛物线的解析式中，得：
-（

7

3

a）²-2×

7

3

a+a=

2

3

a，
解得a=-

39

49

；
由于a＞0，
故此种情况不成立；
把P₃代入抛物线的解析式中，得：
-（-

5

3

a）²-2（-

5

3

a）+a=

2

3

a，
解得a=

33

25

；
综上所述，存在符合条件的P点，且此时a的值为：a₁=

33

25

，a₂=21．