Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点， （为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.
（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；
（2）当（为常数），时，求FG的长；
（3）记四边形BFEG的面积为，矩形ABCD的面积为，当时，求的值.（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

（1）菱形，理由见解析；（2）；（3）6.

试题分析：（1）根据矩形和线段垂直平分线的性质，由AAS证明ΔBOF≌ΔBOG，得到BG＝GE＝EF＝FB，从而得出四边形BFEG是菱形的结论.
（2）根据矩形和菱形的性质，反复应用勾股定理即可求得FG的长.
（3）同（2）的思路，应用特殊元素法，列出关于n的方程求解即可.
试题解析：（1）（1）菱形，理由如下：
∵FG为BE的垂直平分线，∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.
又∵FE∥BG，∴∠FEB＝∠GBO. ∴∠FBO＝∠GBO，BO＝BO，∠BOF＝∠BOG.
∴ΔBOF≌ΔBOG（AAS）. ∴BF＝BG.
∴BG＝GE＝EF＝FB. ∴BFEG为菱形.
（2）∵AB＝a，AD=2AB，，∴AD＝2a，.
∴根据勾股定理，得 BE＝. ∴OE＝.
设菱形BFEG的边长为x，
∵AB²＋AF²＝BF²，
∴，解得：x＝.
∴OF＝.
∴FG＝.
（3）n＝6.