Question

如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）求证：AC=CD．
（2）若AC=2，AO=，求OD的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）1.

试题分析：（1）由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证.
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长.
试题解析：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.
∵直线AC为圆O的切线，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.
∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°.
∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.
∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根据勾股定理得：OC²=AC²+AO²，即（OD+2）²=2²+（）²，
解得：OD=1（负值已舍去）.