Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵点C（0，3），
∴-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；
∴其对称轴x=-1，顶点P的坐标为（-1，4）
∵点M在抛物线的对称轴上，
∴设M（-1，m），
∵A（1，0），P（-1，4），
∴设过点A、P的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

k+b=0 -k+b=4

，解得

k=-2 b=2

，
∴直线AP的解析式为y=-2x+2，
∴E（0，2），
∴S_△ACP=S_△ACE+S_△PEC=

1

2

CE•1+

1

2

CE•1=

1

2

×1×1+

1

2

×1×1=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

MP×2=2，解得MP=2，
当点M在P点上方时，m-4=2，解得m=6，
∴此时M（-1，6）；
当点M在P点下方时，4-m=2，解得m=2，
∴此时M（-1，2），
综上所述，M₁（-1，6），M₂（-1，2）．