题目内容
已知抛物线y=
x2+bx+c经过x轴上点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C.
(1)求a、b的值;
(2)试判断△BOC的外接圆P与直线AC的位置关系,并说明理由;
(3)将△AOC绕点O旋转一周,旋转过程中,AC对应的直线平行于BC,试求旋转后对应的点A的坐标.

1 |
2 |
(1)求a、b的值;
(2)试判断△BOC的外接圆P与直线AC的位置关系,并说明理由;
(3)将△AOC绕点O旋转一周,旋转过程中,AC对应的直线平行于BC,试求旋转后对应的点A的坐标.

(1)∵抛物线y=
x2+bx+c经过A(-2,0),B(4,0),
∴
,
解得
;
(2)直线AC与⊙P相交.
理由如下:由(1)可知,抛物线的解析式为y=
x2-x-4,
令x=0,则y=-4,
所以,点C的坐标为(0,-4),
∵A(-2,0),B(4,0),
∴OA=2,OB=OB=4,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
BC是△BOC的外接圆P的直径,
∵tan∠ACO=
=
=
,
∴∠ACO<45°,
∴∠ACB<90°,
∵点C在⊙P上,
∴直线AC与⊙P相交;
(3)如图,设△AOC旋转得到△A′OC′,A′C′交x轴于E,
∵A′C′∥BC,
∴∠A′EO=∠OBC=45°,
过点O作OD⊥A′C′于D,则△ODE是等腰直角三角形,
根据勾股定理,AC=
=2
,
S△AOC=
×2
•OD=
×2×4,
解得OD=
,
∴DE=OD=
,
OE=
×
=
,
又∵tcos∠A′=
=
,
即
=
,
解得A′D=
,
∴A′E=A′D+DE=
+
=
,
过点A′作AF⊥x轴于F,
∵∠A′EO=45°,
∴△A′EF是等腰直角三角形,
∴A′F=EF=
×
=
,
∴OF=OE-EF=
-
=
,
∴点A′的坐标为(-
,
),
当点A旋转到第四象限时,与A′关于原点对称,
点A的对应点的坐标为(
,-
),
综上所述,旋转后对应的点A的坐标为(-
,
)或(
,-
).
1 |
2 |
∴
|
解得
|
(2)直线AC与⊙P相交.
理由如下:由(1)可知,抛物线的解析式为y=
1 |
2 |
令x=0,则y=-4,
所以,点C的坐标为(0,-4),
∵A(-2,0),B(4,0),
∴OA=2,OB=OB=4,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=∠OCB=45°,
BC是△BOC的外接圆P的直径,
∵tan∠ACO=
OA |
OC |
2 |
4 |
1 |
2 |
∴∠ACO<45°,
∴∠ACB<90°,
∵点C在⊙P上,
∴直线AC与⊙P相交;
(3)如图,设△AOC旋转得到△A′OC′,A′C′交x轴于E,
∵A′C′∥BC,
∴∠A′EO=∠OBC=45°,
过点O作OD⊥A′C′于D,则△ODE是等腰直角三角形,
根据勾股定理,AC=
22+42 |
5 |

S△AOC=
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
解得OD=
4
| ||
5 |
∴DE=OD=
4
| ||
5 |
OE=
2 |
4
| ||
5 |
4
| ||
5 |
又∵tcos∠A′=
A′D |
A′O |
A′O |
A′C′ |
即
A′D |
2 |
2 | ||
2
|
解得A′D=
2
| ||
5 |
∴A′E=A′D+DE=
2
| ||
5 |
4
| ||
5 |
6
| ||
5 |
过点A′作AF⊥x轴于F,
∵∠A′EO=45°,
∴△A′EF是等腰直角三角形,
∴A′F=EF=
| ||
2 |
6
| ||
5 |
3
| ||
5 |
∴OF=OE-EF=
4
| ||
5 |
3
| ||
5 |
| ||
5 |
∴点A′的坐标为(-
| ||
5 |
3
| ||
5 |
当点A旋转到第四象限时,与A′关于原点对称,
点A的对应点的坐标为(
| ||
5 |
3
| ||
5 |
综上所述,旋转后对应的点A的坐标为(-
| ||
5 |
3
| ||
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| ||
5 |
3
| ||
5 |

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