题目内容

如图，已知抛物线y=
1
2
x2-2x+1的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O′，过点B和P的直线l交y轴于点C，连接O′C，将△ACO′沿O′C翻折后，点A落在点D的位置．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△DQC=S△DPB？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）配方，得y=
1
2
（x-2）2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P（2，-1）．（1分）
取x=0代入y=
1
2
x2-2x+1，
得y=1，
∴点A的坐标是（0，1）．
由抛物线的对称性知，点A（0，1）与点B关于直线x=2对称，
∴点B的坐标是（4，1）．（2分）
设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），将B、P的坐标代入，
有
1=4k+b
-1=2k+b
，
解得
k=1
b=-3
∴
∴直线l的解析式为y=x-3．（3分）

（2）连接AD交O′C于点E，
∵点D由点A沿O′C翻折后得到，
∴O′C垂直平分AD．
由（1）知，点C的坐标为（0，-3），
∴在Rt△AO′C中，O′A=2，AC=4，
∴O′C=2
5
．
据面积关系，有
1
2
×O′C×AE=
1
2
×O′A×CA，
∴AE=
4
5
5
，AD=2AE=
8
5
5
．
作DF⊥AB于F，易证Rt△ADF∽Rt△CO′A，
∴
AF
AC
=
DF
O′A
=
AD
O′C
，
∴AF=
AD
O′C
•AC=
16
5
，DF=
AD
O′C
•O′A=
8
5
，（5分）
又∵OA=1，
∴点D的纵坐标为1-
8
5
=-
3
5
，
∴点D的坐标为（
16
5
，-
3
5
）．（6分）

（3）显然，O′P∥AC，且O′为AB的中点，
∴点P是线段BC的中点，
∴S△DPC=S△DPB．
故要使S△DQC=S△DPB，只需S△DQC=S△DPC．（7分）
过P作直线m与CD平行，则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC，
故m与抛物线的交点即符合条件的Q点．
容易求得过点C（0，-3）、D（
16
5
，-
3
5
）的直线的解析式为y=
3
4
x-3，
据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=
3
4
x-
5
2
．
令
1
2
x2-2x+1=
3
4
x-
5
2
，
解得x1=2，x2=
7
2
，
代入y=
3
4
x-
5
2
，得y1=-1，y2=
1
8
，
因此，抛物线上存在两点Q1（2，-1）（即点P）和Q2（
7
2
，
1
8
），使得S△DQC=S△DPB．（9分）
（仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1分）
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知直线y=-
1
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x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L1．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）求抛物线L1的解析式；
（3）若正方形以每秒
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个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，抛物线L1与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L2．两抛物线的顶点分别为M、N，点P是x轴上一动点，点Q是抛物线L1上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
定义一种变换：平移抛物线F1得到抛物线F2，使F2经过F1的顶点A．设F2的对称轴分别交F1，F2于点D，B，点C是点A关于直线BD的对称点．

（1）如图1，若F1：y=x2，经过变换后，得到F2：y=x2+bx，点C的坐标为（2，0），则：
①b的值等于______；
②四边形ABCD为（　　）
A、平行四边形；B、矩形；C、菱形；D、正方形．
（2）如图2，若F1：y=ax2+c，经过变换后，点B的坐标为（2，c-1），求△ABD的面积；
（3）如图3，若F1：y=
1
3
x2-
2
3
x+
7
3
，经过变换后，AC=2
3
，点P是直线AC上的动点，求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值．
如图，直线l经过A（-2，0）和B（0，2）两点，它与抛物线y=ax2在第二象限内相交于点P，且△AOP的面积为1，求a的值．
如图（1），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB=8，AD=10，并设点B坐标为（m，0），其中m＞0．
（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；
（2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值；
（3）如图（2），设抛物线y=a（x-m-6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM=90°，求a、h、m的值．
受不法投机商炒作的影响，去年黑豆价格出现了大幅度波动．1至3月份，黑豆价格大幅度上涨，其价格y1（万元/吨）与月份x（1≤x≤3，且x取整数）之间的关系如下表：
月份x123
价格y1（万元/吨）2.62.83
而从4月份起，黑豆价格大幅度走低，其价格y2（万元/吨）与月份x（4≤x≤6，且x取整数）之间的函数关系如图所示．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出黑豆价格y1（万元/吨）与月份x之间所满足的函数关系式；观察如图，直接写出黑豆价格y2（万元/吨）与月份x之间所满足的一次函数关系式；
（2）某食品加工厂每月均在上旬进货，去年1至3月份的黑豆进货量p1（吨）与月份x之间所满足的函数关系式为p1=-10x+180（1≤x≤3，且x取整数）；4至6月份黑豆进货量p2（吨）与月份x之间所满足的函数关系式为p2=30x-30（4≤x≤6，且x取整数）．求在前6个月中该加工厂的黑豆进货金额最大的月份和该月的进货金额；
（3）去年7月份黑豆价格在6月的基础上下降了a%，进货量在6月份的基础上增加了2a%．使得7月份进货金额为363万元，请你计算出a的最大整数值．
（参考数据：
3
≈1.7，
5
≈2.2，
6
≈2.4，
7
≈2.6）
天羽服装厂生产M、N型两种服装，受资金及规模限制，每天最多只能用A种面料68米和B种面料62米生产M、N型两种服装共80套．已知M、N型服装每套所需面料和成本如下表，设每天生产M型服装x套．
AB成本
M型1.1m0.4m100元
N型0.6m0.9m80元
（1）若要每天成本不高于7200元，则该厂每天生产M型服装最多多少套，最少多少套？
（2）经市场调查，生产的M、N型服装有两种销售方案（假设每天生产的服装都能全部售出）．
方案Ⅰ：两种型号服装都在本市销售，M型180元/件、N型120元/件；
方案Ⅱ：N型服装在本市销售，120元/件，M型服装批发给H市服装商，其每件的批发价y（元）与批量x（件）之间的关系如图所示．
如果你是厂长，应采用哪种销售方案可使每天获利最大，最大利润是多少？并确定相应的生产方案．
已知二次函y=-x2-2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2-2x+m=0的解为______．

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