Question

如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，DB⊥BC，DA=DB，点E是BC的中点，DE与AB相交于点G．
(1)求证DE⊥AB；
(2)如果∠FCB=∠FBC=∠DAB，设DF与BC交于点H，求证：DH=FH．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

试题分析：（1）欲证明DE⊥AB，只需推知AE=BE即可；
（2）欲证明DH=FH，需要证得四边形BDEF是平行四边形．
（1）如图，连接AE．

∵∠BAC=90°，BE=EC，
∴AE=BE=BC．
又∵DA=DB，
∴DE垂直平分AB，即DE⊥AB；
（2）∵∠DBC=90°
∴∠DBA+∠ABC=90°
∵DA=AB，∴∠DBA=∠DAB，
∵∠FBC=∠DAB
∴∠FBC+∠ABC=90°
∵∠AGE=90°
∴BF∥DE．
又∵∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC
∵BE=EC，∴FE⊥BC
∴∠DBE=∠BEF=90°
∴DB∥EF，
∴四边形DBFE是平行四边形，
∴DH=FH．