题目内容
【题目】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=5，tan∠DBC= 
．点E为线段BD上任意一点（点E与点B，D不重合），过点E作EF∥CD，与BC相交于点F，连接CE．设BE=x，y= 
．
（1）求BD的长；
（2）如果BC=BD，当△DCE是等腰三角形时，求x的值；
（3）如果BC=10，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】
（1）
解：如图1，过A作AH⊥BD于H，
∵AD∥BC，AB=AD=5，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，
在Rt△ABH中，
∵tan∠ABD=tan∠DBC= 
，
∴cos∠ABD= 
，
∴BH=DH=4，
∴BD=8；
（2）
解：∵△DCE是等腰三角形，且BC=BD=8，
∴①如图2，
当CD=DE时，即：CD=DE=BD﹣BE=8﹣x，
过点D作DG⊥BC于G，
在Rt△BDG中，tan∠DBC= ，BD=8，
∴DG= 
BD= 
，BG= 
BD= 
，
∴CG=8﹣BG= 
，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，DG2+CG2=CD2，
∴（ 
）2+（ ）2=（8﹣x）2，
∴x=8+ 
（舍）或x=8﹣ ，
②如图3，
当CE=CD时，
过点C作CG⊥BD，
∴DG=EG= 
DE，
在Rt△BCG中，BC=8，tan∠DBC= ，
∴BG= ，
∴DG=BD﹣BG= ，
∴x=BE=BD﹣DE=BD﹣2DG=
（3）
解：∵BF=x，BC=10，
∴FC=10﹣x，
∴ 
，
∵EF∥DC，
∴△FEB∽△CDB，
∴ 
∴ 
= 
=﹣ 
x2+ 
x（0＜x＜8）
【解析】（1）过A作AH⊥BD于H，再根据AD∥BC，AB=AD=5，可得∠ABD=∠ADB=∠DBC，BH=HD，再根据tan∠ABD=tan ，计算出BH=DH=4，进而得到BD=8；（2）分两种情况用锐角三角函数计算即可得出结论．（3）首先利用平行线的性质得出△FEB∽△CDB，即可得出y与x的函数关系式；
【考点精析】通过灵活运用梯形的定义和直角梯形，掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．两腰相等的梯形是等腰梯形；一腰垂直于底的梯形是直角梯形即可以解答此题．
