Question

【题目】已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：
（1）△ABF∽△BED；
（2） = ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AB∥CD，

∴△ABF∽△CEF，

∵BE⊥DC，

∴∠FEC=∠BED，

由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，

∴△BED∽△CEF，

∴△ABF∽△BED

（2）证明：∵AB∥CD，

∴ ，

∴ ，

∵△ABF∽△BED，

∴ ，

∴ =

【解析】（1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出 ，由相似三角形的性质得出 ，即可得出结论．
【考点精析】掌握菱形的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．