题目内容
【题目】二次函数图象如图,下列结论:①
;②
;③当
时,
;④
;⑤若
,且
,则
.其中正确的有( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解析】
根据抛物线的对称轴为直线x=1可判断②;
根据抛物线的开口方向、对称轴和与y轴交点的位置可判断a、b、c的符号,进而可判断①;
根据抛物线的顶点结合最值可判断③;
抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧可判断④;
把ax12+bx1=ax22+bx2先移项,再分解因式,进一步即可判断⑤.
解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1,
∴b=﹣2a>0,且2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③正确;
∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧
∴当x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以④错误;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,
∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,
∵b=﹣2a,∴x1+x2=2,所以⑤正确.
故选B.
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