Question

【题目】如图，在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，，则有以下四个结论：①是等边三角形；②；③的周长是10；④．其中正确结论的序号是（ ）

A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

先由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，可知：BD=BE，∠DBE=60°，则可判断△BDE是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，从而得∠BAE=∠ABC=60°，根据平行线的判定方法即可得到AE∥BC；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC；由△BDE是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，则AE=CD，△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=10．

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴BD=BE，∠DBE=60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴①正确；

∵△ABC为等边三角形，

∴BA=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴∠BAE=∠BCD=60°，

∴∠BAE=∠ABC，

∴AE∥BC，

∴②正确；

∵△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=4，

∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，

∴AE=CD，

∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=6+4=10，

∴③正确；

∵△BDE是等边三角形，

∴∠BDE=60°，

∵∠BDC=∠BAC+∠ABD＞60°，

∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC＜60°，

∴∠ADE≠∠BDC，

∴④错误．

故选D．