题目内容
【题目】如图,一次函数与反比例函数相交于、两点,与轴,轴分别交于、两点,已知,的面积为.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)连接,,点是线段的中点,直线向上平移个单位将的面积分成两部分,求的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】
(1)根据一函数解析式求得OC的长,在Rt△OCD中,利用三角函数与勾股定理求得OD的长,即D点坐标,然后代入一次函数解析式求得k的值,即可得到一次函数解析式,再根据△BOD的面积求得B点纵坐标,代入一次函数得到B点坐标,然后代入反比例函数即可得解;
(2)先联立方程求得M点坐标,再设向上平移个单位得到的直线l′为:y=﹣x+h,并设l′与线段AB交于点E,与线段OA交于点F.由题意可知:S△AEF:S△AOB=1:8,即S△AEF:S△AOM=1:4,得到E为AM中点,再将E点坐标代入y=﹣x+h求得h的值即可.
解:(1)令x=0,则y=1,
∴直线与y轴的交点C(0,1),
∴OC=1,
在Rt△OCD中,
∵,
∴CD==,
∴OD==2,
∴D(﹣2,0),
把D(﹣2,0)代入函数,解得:k=,
∴一次函数的解析式为:,
又∵S△BOD=·OD·∣yB∣=1,
∴yB=﹣1,
把yB=﹣1代入一次函数得:xB=﹣4,
∴B(﹣4,﹣1),
把B(﹣4,﹣1)代入函数,解得:m=4,
∴反比例函数的解析式为:;
(2)联立,
解得:或,
∴A(2,2),B(﹣4,﹣1),
∴M(﹣1,),
∴直线OM的解析式为:y=﹣x,
设向上平移个单位得到的直线l′为:y=﹣x+h,并设l′与线段AB交于点E,与线段OA交于点F.由题意可知:S△AEF:S△AOB=1:8,
∴S△AEF:S△AOM=1:4,
又∵l′与OM平行,
∴E是线段AM的中点,
∴E(,),
把E(,)代入y=﹣x+h得:=﹣×+h,
∴h=.