Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边△ACD，点E为AB的中点，连接DE． (1)证明：DE∥CB． (2)探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接CE． 　　∵点E为Rt△ACB斜边AB的中点， 　　∴． 　　∵△ACD是等边三角形， 　　∴∠ACD＝60°，AD＝CD． 　　在△ADE与△CDE中， 　　∴△ADE≌△CDE， 　　∴∠ADE＝∠CDE＝30°． 　　又∵∠DCB＝∠ACD＋∠ACB＝150°， 　　∴∠EDC＋∠DCB＝180°． 　　∴DE∥CB． 　　(2)解：由(1)知，∠DCB＝150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∴∠DCB＋∠B＝180°，∴∠B＝30°． 　　在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴． 　　∴当或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．