Question

【题目】如图，已知PA、PB切⊙O于A，B两点，连AB，且PA，PB的长是方程x2﹣2mx+3=0的两根，AB=m．试求：

（1）⊙O的半径；
（2）由PA，PB， 围成图形（即阴影部分）的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连OA，OB，

∵PA=PB，

∴△=（﹣2m）2﹣4×3=0，

∴m2=3，m＞0，

∴m= ，

∴x2﹣2 x+3=0，

∴x1=x2= ，

∴PA=PB=AB= ，

∴△ABP等边三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠APO=30°，

∵PA= ，

∴OA=1

（2）解：∵∠AOP=60°，

∴∠AOB=120°，

S阴=S四边形OAPB﹣S扇形OAB

=2S△AOP﹣S扇形OAB

=2× ×1× ﹣ ，

= ﹣ π．

【解析】（1）由已知易证PA=PA，而PA、PB是一元二次方程的两个根，可知一元二次方程由两个相等的实数根，根据b2-4ac=0,建立方程，即可求出m的值，再证明△ABP等边三角形，就可求出圆的半径长。
（2）观察图形S阴=2S△AOP﹣S扇形OAB，分别求出△AOP和扇形OAB的面积即可。
【考点精析】掌握公式法和求根公式是解答本题的根本，需要知道要用公式解方程，首先化成一般式．调整系数随其后，使其成为最简比．确定参数abc，计算方程判别式．判别式值与零比，有无实根便得知．有实根可套公式，没有实根要告之；根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根．