题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,D是⊙O上的一点,且AD∥CO.
(1)求证:△ABD≌△OBC;
(2)若AB=2,BC= ,求AD的长.
【答案】
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=∠90°,
∵BC是⊙O的切线,
∴∠OBC=∠90°,
∵AD∥CO,
∴∠A=∠COB,
在△ABD和△OBC中
∵∠ADB=∠OBC,∠A=∠COB,
∴△ABD∽△OCB;
(2)解:由(1)知,△ABD∽△OCB,
∴ =
,即AD=
,
∵AB=2,BC= ,
∴OB=1,
∴OC= =
,
∴AD= =
.
【解析】(1)根据AB为圆O的直径,根据圆周角定理得到∠D为90°,又BC为圆O的切线,根据切线性质得到∠CBO=90°,进而得到这两个角相等,又AD∥CO,根据两直线平行,得到一对同位角相等,从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证;(2)根据勾股定理求得OC= ,由(1)得到的相似三角形,根据相似三角形的对应边成比例得出
=
,即AD=
,求出AD的长.
【考点精析】通过灵活运用切线的性质定理,掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径即可以解答此题.
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