题目内容

【题目】在四边形 ABCD ,BC=CD,连接 ACBD,∠ADB=90°.

(1)如图 1, AD=BD=BC,过点 D DF⊥AB 于点 F, AC 于点 E:

∠DAC

猜想 AEDECE 的数量关系,并证明你的猜想;

(2)如图 2, AC=BD,∠DAC 的度数.

【答案】1)①,②,证明见解析;(2

【解析】

1)①只要证明DA=DC,∠ADC=150°即可解决问题;

②结论:EC=ED+EA.如图1中,设ACBD于点O,连接BE,在EC上截取EH=EB.由EBD≌△HBCSAS),推出DE=CH,可得EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED解决问题;

2)如图2中,作CKBDKCHADAD的延长线于H.首先证明四边形DHCK是矩形,再证明CH=AC,即可解决问题;

1)①如图1中,

AD=BD=BCBC=CD

BD=BC=CD

∴△BDC是等边三角形,

∴∠CDB=60°

∵∠ADB=90°

∴∠ADC=90°+60°=150°

DA=DC

∴∠DAC=DCA=15°

②结论:EC=ED+EA.如图1中,设ACBD于点O,连接BE,在EC上截取EH=EB

DA=DBDFAB

AF=FB

EA=EB

∴∠DAF=DBF,∠EAB=EBA

∴∠DAE=DBE

∵∠DAE=DCO

∴∠DCO=OBE

∵∠DOC=EOB

∴∠BEO=ODC=60°

EH=EB

∴△EBH是等边三角形,

∴∠EBH=DBC=60°BE=BH

∴∠EBD=HBC,∵BD=BC

∴△EBD≌△HBCSAS),

DE=CH

EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED

3)如图2中,作CKBDKCHADAD的延长线于H

∵∠H=CKD=HDK=90°

∴四边形DHCK是矩形,

DK=CH

CD=CBCKBD

DK=BD

AC=BD

CH=AC

RtACH中,sinCAD=

∴∠CAD=30°

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