题目内容
【题目】(1)问题发现:如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,当△DCE旋转至点A,D,E在同一直线上,连接BE.
填空:① ∠AEB的度数为_______;②线段AD、BE之间的数量关系是______.
(2)拓展研究:
如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,若AE=15,DE=7,求AB的长度.
(3)探究发现:
图1中的△ACB和△DCE,在△DCE旋转过程中当点A,D,E不在同一直线上时,设直线AD与BE相交于点O,试在备用图中探索∠AOE的度数,直接写出结果,不必说明理由.
【答案】(1)60°.AD=BE;(2)AB=17;(3)∠AOE的度数是60°或120°.
【解析】试题分析:(1)由条件易证△ACD≌△BCE,从而得到:AD=BE,∠ADC=∠BEC.由点A,D,E在同一直线上可求出∠ADC,从而可以求出∠AEB的度数.
(2)仿照(1)中的解法可求出∠AEB的度数,证出AD=BE;由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME,从而证到AE=2CH+BE.
(3)由(1)知△ACD≌△BCE,得∠CAD=∠CBE,由∠CAB=∠ABC=60°,可知∠EAB+∠ABE=120°,根据三角形的内角和定理可知∠AOE=60°.
试题解析:(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等边三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=120°.
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC∠CED=60°.
故答案为:60°.
②∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
故答案为:AD=BE.
(2)∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE=AE-DE=8,∠ADC=∠BEC,
∵△DCE为等腰直角三角形,
∴∠CDE=∠CED=45°.
∵点A,D,E在同一直线上,
∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°.
∴∠AEB=∠BEC∠CED=90°.
∴AB==17;
(3)由(1)知△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠CAB=∠CBA=60°,
∴∠OAB+∠OBA=120°
∴∠AOE=180°120°=60°,
同理求得∠AOB=60°,
∴∠AOE=120°,
∴∠AOE的度数是60°或120°.
点睛:本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形全等的判定与性质等知识,考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】如图,直线MN:y=-x+b与x轴交于点M(4,0),与y轴交于点N,长方形ABCD的边AB在x轴上,AB=2,AD=1.长方形ABCD由点A与点O重合的位置开始,以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向作匀速直线运动,当点A与点M重合时停止运动.设长方形运动的时间为t秒,长方形ABCD与△OMN重合部分的面积为S.
(1)求直线MN的解析式;
(2)当t=1时,请判断点C是否在直线MN上,并说明理由;
(3)请求出当t为何值时,点D在直线MN上;
(4)直接写出在整个运动过程中S与t的函数关系式
【答案】(1)y=-x+4(2)t=1时,点C(3,1)在直线MN上(3)t=3时,点D在直线MN上(4)S=
【解析】试题分析:(1)把点(4,0)代入直线即可求得结果;
(2)先求出当=1时点A运动的路程,即可得到点C的坐标,再代入直线MN的解析式即可判断;
(3)先得到运动开始时点D坐标,再令,得到此时点D的坐标即可判断;
(4)分、、、四种情况分析即可.
(1)∵直线与轴交于点(4,0)
∴,解得
∴直线的解析式为;
(2)如图1,当=1时,点在直线上,
当=1时,点A运动的路程为AO=1×1=1,
又∵,
∴此时点C的坐标为(3,1)
把点C的坐标代入直线MN的解析式
∵
∴点在直线上;
(3)如图2,点向右平移过程中纵坐标不变
由题意知,运动开始时点D坐标为(0,1)
令,解得
此时点D的坐标为(3,1)
∴;
即=3时,点在直线上;
(4).