题目内容
【题目】已知，直线AB∥CD
（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．
【答案】（1）∠ABE+∠CDE=∠BED；（2）∠BED=2∠BFD；（3）2∠BFD+∠BED=360°．
【解析】分析：(1)首先过点E作EF∥AB,易证得∠1=∠ABE, ∠2=∠CDE,则可得
.
(2)首先连接FE并延长,易得
,又由BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE,以及(1)的结论,易证得∠BED=2∠BED;
(3)由
,以及BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE与
,即可证得结论.
本题解析：
（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠1=∠ABE，∠2=∠CDE，
∴∠BED=∠1+∠2=∠ABE+∠CDE；
（2）∠BED=2∠BFD．
证明：连接FE并延长，
∵∠BEG=∠BFE+∠EBF，∠DEG=∠DFE+∠EDF，
∴∠BED=∠BFD+∠EBF+∠EDF，
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABE+∠CDE=2（∠EBF+∠EDF），
∵∠BED=∠ABE+∠CDE，
∴∠EBF+∠EDF=
∠BED，
∴∠BED=∠BFD+∠BED，
∴∠BED=2∠BFD；
（3）2∠BFD+∠BED=360°．
∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，
∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=
∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），
∵∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），
∴∠ABE+∠CDE=2∠BFD，
∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，
∴2∠BFD+∠BED=360°．
