Question

【题目】如图，二次函数y= x2+bx﹣ 的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（﹣3，4）
（2）

解：设PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴

∴l=﹣ + =﹣ （t﹣ ）2+

∴当t= 时，l有最大值

即P为AO中点时，OE的最大值为

（3）

解：存在．

①点P点在y轴左侧时，DE交AB于点G，

P点的坐标为（﹣4，0），

∴PA=OP﹣AO=4﹣3=1，

由△PAD≌△EOP得OE=PA=1

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG= =

∴重叠部分的面积= =

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），

此时重叠部分的面积为

【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．