Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，AB=4， BC=3，F是DC上一点，且CF=， E,是线段AB上一动点，将射线EF绕点E顺时针旋转45°交BC边于点G.
小题1:直接写出线段AD和CD的长；
小题2:设AE=x，当x为何值时△BEG是等腰三角形；
小题3:当△BEG是等腰三角形时，将△BEG沿EG折叠，得到△B’EG，求△B’EG与五边形AEGCD重叠部分的面积．

Answer 1

小题1:AD＝，CD＝
小题2:当△BEG为等腰三角形时，有三种情况
①当GE＝GB时，∠GEB＝∠B＝45°
　∵∠FEG＝45°
　∴∠FEB＝∠FEG＋∠BEG＝45°＋45°＝90°
　∴∠AEF＝90°，
∵∠A＝∠D＝90°
易证四边形AEFD为矩形
∴AE＝DF＝CD－CF＝－＝…………………………4分
②当BE＝BG时，连结AF
当BE＝BG时，则AE＝AF＝3……………………………………………………6分
③当EG＝EB时
∴∠EGB＝∠B＝45°
∴∠GEB＝90°
∵∠FEG＝45°
∴∠FEB＝90°＋45°＝135°
∴∠FEB＋∠B＝180°
∴FE∥BC
∵CF∥BE
∴四边形CBEF是平行四边形

小题3:
易求得GH＝BG＝（4－3）＝4－

(1)利用勾股定理求出AD和CD长；
（2）分三种情况：GE=GB,BE=BG,EG=EB进行讨论；
（3）与（2）一样分三种情况进行讨论.