题目内容
【题目】已知：△ABC内接于⊙O，D是 
上一点，OD⊥BC，垂足为H． 
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5 
，BN=3 ，tan∠ABC= 
，求BF的长．
【答案】
（1）解：∵OD⊥BC，
∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH；
（2）解：∵OD⊥BC，
∴由垂径定理可知： 
，
∴∠BAD=∠CAD，
∵ 
，
∴∠ABC=∠ADC，
∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，
∴∠ACD=∠APB，
（3）解：连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，
∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，
∵∠ABD+∠BDN=∠AND，
∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，
∵∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND，
∴∠AND=180°﹣∠AND，
∴∠AND=90°，
∵tan∠ABC= 
，BN=3 
，
∴NQ= 
，
∴由勾股定理可求得：BQ= 
，
∵∠BNQ=∠QHD=90°，
∴∠ABC=∠QDH，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠QDH，
∵∠ERG=90°，
∴∠OED=∠GBN，
∴∠GBN=∠ABC，
∵AB⊥ED，
∴BG=BQ= ，GN=NQ= ，
∵AI是⊙O直径，
∴∠ACI=90°，
∵tan∠AIC=tan∠ABC= ，
∴ 
= ，
∴IC=10 ，
∴由勾股定理可求得：AI=25，
连接OB，
设QH=x，
∵tan∠ABC=tan∠ODE ，
∴ 
，
∴HD=2x，
∴OH=OD﹣HD= 
﹣2x，
BH=BQ+QH= +x，
由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，
∴（ ）2=（ +x）2+（ ﹣2x）2，
解得：x= 
或x= 
，
当QH= 时，
∴QD= QH= 
，
∴ND=QD+NQ=6 ，
∴MN=3 ，MD=15
∵MD 
，
∴QH= 不符合题意，舍去，
当QH= 时，
∴QD= QH=
∴ND=NQ+QD=4 ，
由垂径定理可求得：ED=10 ，
∴GD=GN+ND= 
∴EG=ED﹣GD= ，
∵tan∠OED= ，
∴ 
，
∴EG= RG，
∴RG= ，
∴BR=RG+BG=12
∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．
【解析】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，中位线的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．（1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；（2）由垂径定理可知： ，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；（3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC= 可知NQ和BQ的长度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，连接AO并延长交⊙O于点I，连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED= 即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．
