题目内容

【题目】某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元;生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元。设生产A种产品的生产件数为x, A、B两种产品所获总利润为y (元)

(1)试写出yx之间的函数关系式;

(2)求出自变量x的取值范围;

(3)利用函数的性质说明哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?

【答案】(1)yx之间的函数关系式是

(2)自变量x的取值范围是x = 30,31,32;

(3)生产A种产品 30件时总利润最大,最大利润是45000元

【解析】(1)由于用这两种原料生产A、B两种产品共50件,设生产A种产品x件,那么生产B种产品(50-x)件.由A产品每件获利700元,B产品每件获利1200元,根据总利润=700×A种产品数量+1200×B种产品数量即可得到y与x之间的函数关系式;
(2)关系式为:A种产品需要甲种原料数量+B种产品需要甲种原料数量≤360;A种产品需要乙种原料数量+B种产品需要乙种原料数量≤290,把相关数值代入得到不等式组,解不等式组即可得到自变量x的取值范围;
(3)根据(1)中所求的y与x之间的函数关系式,利用一次函数的增减性和(2)得到的取值范围即可求得最大利润.

解答:解:(1)设生产A种产品x件,则生产B种产品(50-x)件,
由题意得:y=700x+1200(50-x)=-500x+60000,
即y与x之间的函数关系式为y=-500x+60000;
(2)由题意得
解得30≤x≤32.
∵x为整数,
∴整数x=30,31或32;
(3)∵y=-500x+60000,-500<0,
∴y随x的增大而减小,
∵x=30,31或32,
∴当x=30时,y有最大值为-500×30+60000=45000.
即生产A种产品30件,B种产品20件时,总利润最大,最大利润是45000元.

“点睛”本题考查一次函数的应用,一元一次不等式组的应用及最大利润问题;得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键.

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