题目内容
如图,点O是边长为8的正方形ABCD边AD上一个动点(4<OA<8),以O为圆心、OA长为半径的圆交边CD于点M,连接OM,以CM为边在正方形ABCD内部作∠CMN=∠DOM,直线MN交边BC于点N.

(1)试说明:直线MN是⊙O的切线;
(2)设DM=x,求OA的长(用含x的代数式表示);
(3)在点O运动的过程中,设△CMN的周长为p,试用含x的代数式表示p,你有什么发现?

(1)试说明:直线MN是⊙O的切线;
(2)设DM=x,求OA的长(用含x的代数式表示);
(3)在点O运动的过程中,设△CMN的周长为p,试用含x的代数式表示p,你有什么发现?
(1)根据正方形的性质结合∠CMN=∠DOM,即可得到∠OMN=90°,即可证得结果;
(2)
;(3)p为定值16
(2)

试题分析:(1)根据正方形的性质结合∠CMN=∠DOM,即可得到∠OMN=90°,即可证得结果;
(2)设OA=y,Rt△ODM中,根据勾股定理可得DM2=OM2-DO2=OA2-DO2,即可得到结果;
(3)易证△DOM ∽△CMN,根据相似三角形的性质可得

(1)∵正方形ABCD
∴∠D=90°
∴∠DOM+∠DMO=90°
∵∠CMN=∠DOM
∴∠CMN+∠DMO=90°
∴∠OMN=90°
∴直线MN是⊙O的切线;
(2)设OA=y,Rt△ODM中,DM2=OM2-DO2=OA2-DO2,
即x2=y2-(8-y)2,解得OA=y =

(3)易证△DOM ∽△CMN,相似比为

∴p=

∴在点O运动的过程中,△CMN的周长p为定值16.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,题目比较典型.

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