题目内容
【题目】如图1,在四边形ABCD中,∠DAB被对角线AC平分,且AC2=ABAD,我们称该四边形为“可分四边形”,∠DAB称为“可分角”.
(1)如图2,若四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且∠DCB=∠DAB,则∠DAB=°.
(2)如图3,在四边形ABCD中,∠DAB=60°,AC平分∠DAB,且∠BCD=150°,求证:四边形ABCD为“可分四边形”;
(3)现有四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,且AC=4,BC=2,∠D=90°,求AD的长?
【答案】
(1)120
(2)证明:∵∠DAB=60°,AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB=30°,
∴∠D+∠ACD=180°﹣30°=150°,
∵∠BCD=∠ACD+∠ACB=150°,
∴∠D=∠ACB,
∴△ADC∽△ACB.
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC2=ABAD,
∴四边形ABCD为“可分四边形”
(3)解:∵四边形ABCD为“可分四边形”,∠DAB为“可分角”,
∴AC2=ABAD,∠DAC=∠CAB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠D=∠ACB=90°,
∴AB= =
=2
,
∴AD= =
=
.
【解析】(1)解:如图所示:
∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠2,
∵AC2=ABAD,
∴AD:AC=AC:AB,
∴△ADC∽△ACB,
∴∠D=∠4,
∵∠DCB=∠DAB,
∴∠DCB=∠3+∠4=2∠1,
∵∠1+∠D+∠4=180°,
∴∠1+2∠1=180°,
解得:∠1=60°,
∴∠DAB=120°;
所以答案是:120;
【考点精析】关于本题考查的三角形的内角和外角和勾股定理的概念,需要了解三角形的三个内角中,只可能有一个内角是直角或钝角;直角三角形的两个锐角互余;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角;直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案.
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