Question

【题目】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，边BC是⊙0的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC=8，tan∠DAC= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵BC是⊙O的切线，

∴OD⊥BC，
∠ODB=∠C=90°

∴OD∥AC，

∴∠ODA=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠BAC

（2）解：连接DE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠CAD，tan∠DAC= ，

∴tan∠EAD= ，

∵tan∠DAC= ，AC=8，

∴CD=6，

由勾股定理得，AD= =10，

∴ = ，

解得，DE= ，

∴AE= = ，

∴⊙O的半径为 ．

【解析】（1）已知圆的切线，常添加的辅助线是“连半径，得垂直”。已知BC是⊙0的切线，所以连半径OD,得到OD⊥BC，再由平行线的性质和等腰三角形的性质就可证得结论；（2）要求此圆的半径，转化为求直径AE的长，已知圆的直径，常添加的辅助线是“连接一条弦，得直径所对的圆周角是直角”，方法一：连接DE,得到Rt△ADE，再根据正切的定义和勾股定理可得到圆的半径，方法二求出AD的长后，也可以证明△ACD△ADE求得AE的长，即可得到此圆的半径长。
【考点精析】认真审题，首先需要了解平行线的判定与性质(由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质)，还要掌握等腰三角形的性质(等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）)的相关知识才是答题的关键．