题目内容
【题目】在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,AC,BD相交于O,P是边BC上一点,AP与BD交于点M,DP与AC交于点N.
①若点P为BC的中点,则AM:PM=2:1;
②若点P为BC的中点,则四边形OMPN的面积是8;
③若点P为BC的中点,则图中阴影部分的总面积为28;
④若点P在BC的运动,则图中阴影部分的总面积不变.
其中正确的是 . (填序号即可)
【答案】①③
【解析】解:①正确;
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=90°,AD=BC,AD∥BC,
∴AM:PM=AD:BP,
∵点P为BC的中点,
∴BP= BC= AD,
∴AM:PM=2:1;
②不正确;作MG⊥BC于G,如图所示:
则MG∥AB,
∴△PMG∽△PAB,
∴MG:AB=PM:PA=1:3,
∴MG= AB=2,
∴四边形OMPN的面积=△BOC的面积﹣△MBP的面积﹣△NCP的面积= ×8×6﹣ ×4×2﹣ ×4×2=4;③正确;
∵图中空白部分的面积=△DBP的面积+△ACP的面积﹣四边 形OMPN的面积= ×4×6+ ×4×6﹣4=20,
∴图中阴影部分的总面积=矩形ABCD的面积﹣图中空白部分的面积=8×6﹣20=28;④错误;
∵P在B时,阴影部分的面积= ×6×8=24≠28;
正确的有①③;
所以答案是:①③.
【考点精析】掌握矩形的性质和平行线分线段成比例是解答本题的根本,需要知道矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等;三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
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