Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的 O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）判断DE与 O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若 O的直径为3，cosB= ，求DE的长.

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连结CD，如图，

∵BC为直径，

∴∠BDC=90°，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC，

∴AD=BD，

即点D是AB的中点；

（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：

连结OD，

∵AD=BD，OC=OB，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

而DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE为⊙O的切线．

（3）解：连结CD，如图，

∵BC为直径，

∴∠BDC=90°，

在Rt△BDC中，∵cosB= ，

∴BD= BC= ×3=1，

∴AD=BD=1，

在Rt△ADE中，∵cosA=cosB= =

∴AE= AD= ，

∴DE= = = .

【解析】（1）连结OD，如图，由OD=OB得到∠ODB=∠B，由CA=CB得到∠A=∠B，则∠ODB=∠A，则可判断OD∥AC，易得BD=AD，即点D是AB的中点；（2）由于OD∥AC，DE⊥AC，所以DE⊥OD，于是根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线；（3）连结CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC=90°，则在Rt△BDC中，利用余弦定义可计算出BD= BC=1，所以AD=BD=1，接着在Rt△ADE中，利用余弦定义可计算出AE= AD= ，然后根据勾股定理可计算出DE的长．
【考点精析】通过灵活运用切线的判定定理，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可以解答此题．