Question

如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD=AB，∠ADE=∠C
小题1:求证：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
小题2:求证：AB²=AE·AC

Answer 1

小题1:：（1）在△ADE和△ACD中   ∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE∴∠AED=180°—∠DAE—∠ADE     ∠ADC=180°—∠ADE—∠C
∴∠AED=∠ADC       ∵∠AED+∠DEC=180°    ∠ADB+∠ADC=180°∴∠DEC=∠ADB   又∵AB=AD∴∠ADB=∠B   ∴∠DEC="∠B"
小题2:在△ADE和△ACD中   由（1）知∠ADE=∠C，∠DAE="∠DAE∴△ADE∽△ACD" ∴  即AD²="AE·AC" 又AB=AD∴AB²=AE·AC      

分析：（1）根据三角形的内角和定理可证∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；
（2）根据相似三角形的判定，由AA可证△ADE∽△ACD，得到
，即AD²=AE?AC．又AB=AD，即证AB²=AE?AC．
解答：证明：（1）在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE，∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADE，∠ADC=180°-∠DAE-∠C，
∴∠AED=∠ADC．
∵∠AED+∠DEC=180°，∠ADB+∠ADC=180°，∴∠DEC=∠ADB，
又∵AB=AD，∴∠ADB=∠B，∴∠DEC=∠B．
（2）在△ADE和△ACD中，
由（1）知∠ADE=∠C，∠AED=∠ADC，
∴△ADE∽△ACD，
∴，即AD²=AE?AC．
又AB=AD，
∴AB²=AE?AC．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识点，难度适中．