题目内容
如图,已知等边△ABC,以BC为直径作半⊙O交AB于D,DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是半⊙O的切线;
(2)若DE=
,求△ABC与半⊙O重合部分的面积.
(1)求证:DE是半⊙O的切线;
(2)若DE=
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(1)证明:连接OD,CD,
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,
∵BC为圆O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
∴D为AB的中点,
又O为BC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
则DE与圆O相切;
(2)连接BF,OF,由(1)同理得到OF∥AB,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠FOC=∠DOB=60°,
∴∠DOF=60°,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DE∥BF,
∵D为AB的中点,
∴E为AF中点,即DE为△ABF的中位线,
∴BF=2DE=2
,
在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
设CF=x,则BC=2x,
根据勾股定理得:(2
)2+x2=(2x)2,
解得:x=2,
∴等边△BOD和△COF边长都为2,半圆半径为2,
则△ABC与半圆O重合部分的面积S=2S△BOD+S扇形DOF=2×
×4+
=2
+
.
∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC,
∵BC为圆O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴CD⊥AB,
∴D为AB的中点,
又O为BC的中点,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
则DE与圆O相切;
(2)连接BF,OF,由(1)同理得到OF∥AB,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠FOC=∠DOB=60°,
∴∠DOF=60°,
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴DE∥BF,
∵D为AB的中点,
∴E为AF中点,即DE为△ABF的中位线,
∴BF=2DE=2
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在Rt△BCF中,∠CBF=30°,
设CF=x,则BC=2x,
根据勾股定理得:(2
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解得:x=2,
∴等边△BOD和△COF边长都为2,半圆半径为2,
则△ABC与半圆O重合部分的面积S=2S△BOD+S扇形DOF=2×
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4 |
60π×22 |
360 |
3 |
2π |
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