题目内容

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,设⊙O是△BDE的外接圆.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若DE=2,BD=4,求AE的长.
(1)证明:连接OD,
∵DE⊥DB,⊙O是△BDE的外接圆,
∴BE是直径,点O是BE的中点,
∵∠C=90°,
∴∠DBC+∠BDC=90°,
又BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠DBC,
∵OB=OD,
∴∠ABD=∠ODB,
则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径,
∴AC是⊙O的切线.(方法不唯一,参照给分)

(2)∵DE⊥DB,DE=2,BD=4,
BE=2
5
,OE=
5

∴∠ABD=∠ADE,又∠A为公共角,
∴△ADB△AED,则有
AE
AD
=
ED
DB
=
2
4

∴AD=2AE,
在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2
即(
5
+AE)2=(
5
2+(2AE)2
解得AE=
2
3
5
或AE=0(舍去),
所以AE=
2
3
5

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