题目内容
【题目】如图,在两个同心圆⊙O中,大圆的弦AB与小圆相交于C,D两点.
(1)求证:AC=BD;
(2)若AC=2,BC=4,大圆的半径R=5,求小圆的半径r的值;
(3)若ACBC等于12,请直接写出两圆之间圆环的面积.(结果保留π)
【答案】(1)见解析;(2)r为;(3)12π
【解析】
(1)过O作OE⊥AB于点E,由垂径定理可知E为CD和AB的中点,则可证得结论;
(2)连接OC、OA,由条件可求得CD的长,则可求得CE和AE的长.在Rt△AOE中,利用勾股定理可求得OE的长.在Rt△COE中可求得OC的长;
(3)连接OA,OC,作OE⊥AB于点E,由垂径定理可得AE=BE.由勾股定理可得:OE2=OA2﹣AE2,OE2=OC2﹣CE2,继而可得OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=(AE+CE)(AE﹣CE)=BCAC=12,则可求得圆环的面积.
(1)过O作OE⊥AB于点E,如图1,由垂径定理可得AE=BE,CE=DE,∴AE﹣CE=BE﹣DE,∴AC=BD;
(2)连接OC、OA,如图2.
∵AC=2,BC=4,∴AB=2+4=6,∴AE=3,∴CE=AE﹣AC=3﹣2=1.
在Rt△AOE中,由勾股定理可得OE2=OA2﹣AE2=52﹣32=16.
在Rt△COE中,由勾股定理可得:OC2=CE2+OE2=12+16=17,∴OC=,即小圆的半径r为
;
(3)连接OA,OC,作OE⊥AB于点E,如图2,由垂径定理可得AE=BE.
在Rt△AOE与Rt△OCE中:OE2=OA2﹣AE2,OE2=OC2﹣CE2,∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2,∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2=(AE+CE)(AE﹣CE)=(BE+CE)AC=BCAC=12,∴OA2﹣OC2=12,∴圆环的面积为:πOA2﹣πOC2=π(OA2﹣OC2)=12π.
