Question

（1）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB边上或AB延长线上任意一点”，其余条件不变．试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）取AD的中点H，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，
∴BM=HD=AM=AH，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠DHM=135°，
而BN是∠CBE的平分线．
∴∠MBN=135°，
∴∠DHM=∠MBN，
又∵DM⊥MN，
∴∠NMB+∠AMD=90°，
又∵∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，

∠HDM=∠BMN DH=MB ∠DHM=∠MBN

，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN；

（2）DM=MN仍成立．
如图1，在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM，
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠MBN=135°，
∵AH=AM，
∴∠AHM=45°
∴∠DHM=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90°，
∴∠BMN=∠HDM，
∴△DHM≌△MBN，
∴DM=MN．
如图2，若点M在AB的延长线上，
则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．
∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NME=90°，
又∵∠DMA+∠ADM=90°，
∴∠NME=∠ADM，
∴∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等），
又∵BN为∠CBE的平分线，且∠CBE=90°，
∴∠NBM=45°，
∵AD=AB，DH=BM，
∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，
∴△AMH为等腰直角三角形，
∴∠MHD=45°，
∴∠MHD=∠NBM，
又∵DH=BM，∠MDH=∠NMB，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．