题目内容
如图,点E是正方形ABCD的边BC上的一点,∠DAE的平分线AF交BC的延长线于点F,交CD于点G
(1)若AB=8,BF=16,求CE的长;
(2)求证:AE=BE+DG.
(1)若AB=8,BF=16,求CE的长;
(2)求证:AE=BE+DG.
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=8,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAG=∠F,
∵AF平分∠DAE,
∴∠DAG=∠EAF,
∴∠EAF=∠F,
∴AE=EF,
设CE=x,则BC=8-x,EF=AE=8+x,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:82+(8-x)2=(8+x)2,
x=2,
解CE=2;
(2)
证明:延长CB到M,使BM=DG,连接AM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ABM=90°,AD=AB,AB∥CD,
∴∠3=∠2+∠5=∠4,
在△ABM和△ADG中
∴△ABM≌△ADG,
∴∠4=∠∠M,∠1=∠6,
∵∠1=∠2(角平分线定义),
∴∠2=∠6,
∴∠4=∠M=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5,
即∠M=∠MAE,
∴AE=BE,
∵BM=DG,
∴AE=BE+DG.
∴AB=BC=8,∠B=90°,AD∥BC,
∴∠DAG=∠F,
∵AF平分∠DAE,
∴∠DAG=∠EAF,
∴∠EAF=∠F,
∴AE=EF,
设CE=x,则BC=8-x,EF=AE=8+x,
在Rt△ABE中,由勾股定理得:82+(8-x)2=(8+x)2,
x=2,
解CE=2;
(2)
证明:延长CB到M,使BM=DG,连接AM,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠ABM=90°,AD=AB,AB∥CD,
∴∠3=∠2+∠5=∠4,
在△ABM和△ADG中
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∴△ABM≌△ADG,
∴∠4=∠∠M,∠1=∠6,
∵∠1=∠2(角平分线定义),
∴∠2=∠6,
∴∠4=∠M=∠3=∠2+∠5=∠6+∠5,
即∠M=∠MAE,
∴AE=BE,
∵BM=DG,
∴AE=BE+DG.
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