Question

如图，已知AB=AC，以AB为直径的圆O交边BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）如果∠BAC=120°，求证：DE=

1

4

BC．

Answer 1

（1）证明：
连接OD、AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC（三线合一定理），
∵BO=OA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半径，
∴DE是圆O的切线；

（2）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=

1

2

（180°-∠BAC）=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°，
∴DE=

1

2

DC，
∵DC=BD=

1

2

BC，
∴DE=

1

4

BC．