Question

△ABC中，AC=BC．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G．直线DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果BC=10，AB=12，求CG的长．

Answer 1

如图，连接OD，CD，BG，
（1）∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC，
∴∠BCD=∠ADF，
∵∠ADF=∠EDB，
∵OC=OD，
∴∠BCD=∠ODC，
∴∠ODC=∠EDB，
∴∠ODC+∠BDO=90°，
∴∠EDB+∠BDO=90°，
即∠EDO=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF与⊙O相切，

（2）∵BC为⊙O的直径，
∴BG⊥AC，
∵∠A=∠ABC，
∴△ABG∽△BCD，
∴

AB

BC

=

AG

BD

，
∵OD⊥EF，AC⊥EF，
∴OD∥AC，
∵OB=OC，
∴BD=AD，
∵AB=12，
∴BD=AD=6，
∵BC=10，
∴AC=BC=10，
∴

12

10

=

AG

6

，
∴AG=7.2，
∴CG=AC-AG=10-7.2=2.8．