Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线XY切⊙O于点C，弦BD∥XY，AC、BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：∵XY是⊙O的切线，
∴∠1=∠2．
∵BD∥XY，∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∵∠3=∠4，∴∠2=∠4． （2分）
∵∠ABD=∠ACD，又∵AB=AC，
∴△ABE≌△ACD． （4分）

（2）∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB． （6分）
∴

BC

AC

=

CE

CB

，
∴AC•CE=BC²
即AC•（AC-AE）=BC²．
∵AB=AC=6，BC=4，
∴6（6-AE）=16． （7分）
∴AE=

10

3

（cm）． （8分）