题目内容

如图1,点A(m,m+1)、B(m+3,m-1)均在反比例函数y=
k
x
的图象上,正比例函数y=nx的图象交反比例函数图象于A、C两点.
(1)求出k值和线段AC的长.
(2)在y轴上是否存在点D,使∠ADC=90°?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由.
(3)如图2,若E(-4,3),点P是线段AC上的一个动点,试判断
50-CP•AP
EP2
的值是否发生变化?若不变,求出其值;若变化,说明理由.
(1)∵点A(m,m+1)、B(m+3,m-1)均在反比例函数y=
k
x
的图象上,
∴m(m+1)=(m+3)(m-1),
∴解得:m=3.
∴A(3,4)、B(6,2).
∴k=m(m+1)=12;
如图1,过A作AM⊥x轴于M,
则OM=3,AM=4,
∴AO=5.
根据反比例函数的对称性,AC=2AO=10;

(2)如图1,在y轴的正半轴上取OD=OA=5,连接AD、CD.
则OD=OA=OC.
则∠OCD=∠ODC,∠OAD=∠ODA.
在△ACD中,有∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°.
即∠OCD+∠ODC+∠OAD+∠ODA=180°.
∴∠ODC+∠ODA=90°,
即∠ADC=90°.
∴D(0,5).
同理在y轴负半轴上还有点:D′(0,-5).

另法:如图1,设OD=t,由AD2+CD2=AC2
AE2+ED2+FD2+CF2=AC2
32+(t-4)2+32+(t+4)2=102
解得:t=±5.
则D(0,5)或D′(0,-5).

(3)
50-CP•AP
EP2
的值不发生变化,理由为:
如图2,连EO,过E作EN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M.
∵E(-4,3),A(3,4),
∴EO=OA=5,EN=OM=3,NO=AM=4,
在△ENO和△OMA中,
EO=AO
EN=OM
NO=AM

∴△ENO≌△OMA(SSS),
∴∠EON=∠OAM,
∴∠EON+∠AOM=∠OAM+∠AOM=90°,
∴∠EOA=90°,
设CP=t,则AP=10-t,
CP•AP=t(10-t)=10t-t2
而EP2=OP2+EO2=(5-t)2+52=50-10t+t2
∴50-CP•AP=50-(10t-t2)=50-10t+t2
∴50-CP•AP=EP2
50-CP•AP
EP2
=1,
50-CP•AP
EP2
的值不发生变化,其值恒为1.
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