Question

矩形ABCD的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系中，使AB在x轴的正半轴上，点A在点B的左侧，另两个顶点都在第一象限，且直线y=

3

2

x-1经过这两个顶点中的一个．
（1）求A、B、C、D四点坐标；
（2）以AB为直径作⊙M，记过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P．
①若P点在⊙M和矩形内，求a的取值范围；
②过点C作CF切⊙M于E，交AD于F，当PF∥AB时，求抛物线的函数解析式．

Answer 1

（1）首先画图．设点A坐标为（x，0）

又∵AB=3，AD=2且点A在点B的左侧．AB在x轴的正半轴上．
又∵ABCD为矩形，则点B、C、D的坐标分别为（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直线y=

3

2

x-1，经过这两个顶点中的一个．
当其经过点C时，

3

2

(x+3)=3
∴x=-1
又∵点A在x轴正半轴上
∴x＞0
∴x=-1舍去
当其经过点D时，

3

2

x-1=2
∴x=2，符合题意．
∴A、B、C、D四点坐标分别为（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此抛物线过点A．B
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-5）=ax²-7ax+10a（a≠0）
∴其顶点P的坐标为(

7

2

，-

9

4

a)
而⊙M的圆心M的坐标为(

7

2

，0)，半径为

3

2

∴若P点在⊙M和矩形内，则0＜-

9

4

a＜

3

2

，
∴-

2

3

＜a＜0．
②设点F坐标为（2，y），则FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均为⊙M的切线，
根据切线长定理有CE=BC=2，EF=AF=-

9

4

a，
设直线PF与BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF²=FG²+CG²，CG=BC-AF=2+

9

4

a，CF=BC+EF=2-

9

4

a；
∴（2-

9

4

a）²=（2+

9

4

a）²+9
解得a=-

1

2

∴抛物线的解析式为y=-

1

2

（x-2）（x-5）=-

1

2

x²+

7

2

x-5．