题目内容
【题目】如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．
（1）求证：BD=AC；
（2）将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．
①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；
②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①
；②
＝
．
【解析】
试题分析：（1）先判断出AH=BH，再判断出△BHD≌△AHC即可；
（2）①先根据tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根据△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；
②先判断出△AGQ∽△CHQ，得到
，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．
试题解析：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，∴AH=BH，在△BHD和△AHC中，∵AH=BH，∠BHD=∠AHC，DH=CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD=AC；
（2）①如图，在Rt△AHC中，∵tanC=3，∴
=3，设CH=x，∴BH=AH=3x，∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，∴AH=3，CH=1，由旋转知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，∴∠EHA=∠FHC，
，∴△EHA≌△FHC，∴∠EAH=∠C，∴tan∠EAH=tanC=3，过点H作HP⊥AE，∴HP=3AP，AE=2AP，在Rt△AHP中，
，∴
，∴AP=
，∴AE=；
②由①有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴
，∴，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴
=sin30°=．
