题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x+3x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC.

(1)求A,B,C三点的坐标;

(2)若点P为线段BC上一点(不与B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求点P的坐标;

(3)在(2)的条件下,当△BCM的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得△CNQ为直角三角形,求点Q的坐标.

【答案】1C03),A10),B30);(2)当t=时,BCM的面积最大,此时P点坐标为( );(3Q点的坐标为(1 )或(1 )或(1 )或(1.

【解析】试题分析:(1)在抛物线解析式中,令x=0可求得C点坐标,令y=0则可求得AB的坐标;(2)由BC的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+3,可设P点坐标为(tt+3),则可表示出M点坐标,则可求得PM的长,从而可用t表示出△BCM的面积,再利用二次函数的性质可求得当△BCM的面积最大时t的值,可求得P点坐标;

3)由(2)可知N点坐标,设Q点坐标为(1m),则可用m分别表示出QNQCCN,分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况,分别根据勾股定理可得到关于m的方程,可求得m的值,可求得Q点坐标.

试题解析:解:(1)在y=﹣x2+2x+3中,令x=0可得y=3,,C03),令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=3x=﹣1A﹣10),B30);

2)设直线BC的解析式为y=kx+b,则有: ,解得: ,∴直线BC的解析式为y=x+3.设Ptt+3),则Mtt2+2t+3),PM=t2+2t+3t+3=t2+3tSBCM=PMON+BN= PMOB= ×3t2+3t=t 2+ ∵﹣ 0,∴当t= 时,△BCM的面积最大,此时P点坐标为(

3y=x2+2x+3=x12+4,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴设Q1m),且C03),N0),CN==CQ= =NQ= = ∵△CNQ为直角三角形,∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况:

①当点C为直角顶点时,则有CN2+CQ2=NQ2 ,即(2+m26m+10= +m2 ,解得m=,此时Q点坐标为(1 );

②当点Q为直角顶点时,则有NQ2+CQ2=CN2 ,即(m26m+10+ +m2= 2 解得x= x= ,此时Q点坐标为(1 )或(1 );

③当点N为直角顶点时,则有NQ2+CN2=CQ2 ,即( 2+ +m2=m26m+10,解得m= ,此时Q点坐标为(1);

综上可知Q点的坐标为(1 )或(1 )或(1 )或(1).

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