题目内容
【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
【答案】（1）C（0，3），A（﹣1，0），B（3，0）；（2）当t=
时，△BCM的面积最大，此时P点坐标为（
， 
）；（3）Q点的坐标为（1， 
）或（1， 
）或（1， 
）或（1，﹣
）.
【解析】试题分析：（1）在抛物线解析式中，令x=0可求得C点坐标，令y=0则可求得A、B的坐标；（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+3，可设P点坐标为（t，﹣t+3），则可表示出M点坐标，则可求得PM的长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM的面积最大时t的值，可求得P点坐标；
（3）由（2）可知N点坐标，设Q点坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m的方程，可求得m的值，可求得Q点坐标．
试题解析：解：（1）在y=﹣x2+2x+3中，令x=0可得y=3，，∴C（0，3），令y=0，可得﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，则有： 
，解得： 
，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），∴PM=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCM=
PM（ON+BN）= 
PMOB= 
×3（﹣t2+3t）=﹣
（t﹣ 
）2+ 
，∵﹣ 
＜0，∴当t= 
时，△BCM的面积最大，此时P点坐标为（ 
， 
）
（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x=1，∴设Q（1，m），且C（0，3），N（
，0），∴CN=
=
，CQ= 
=
，NQ=
= 
，∵△CNQ为直角三角形，∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况：
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2=NQ2 ，即（
）2+（m2﹣6m+10）= 
+m2 ，解得m=
，此时Q点坐标为（1， 
）；
②当点Q为直角顶点时，则有NQ2+CQ2=CN2 ，即（m2﹣6m+10）+ 
+m2=（ 
）2 ，解得x= 
或x= 
，此时Q点坐标为（1， 
）或（1， 
）；
③当点N为直角顶点时，则有NQ2+CN2=CQ2 ，即（ 
）2+ 
+m2=m2﹣6m+10，解得m=﹣ 
，此时Q点坐标为（1，﹣
）；
综上可知Q点的坐标为（1， 
）或（1， 
）或（1， 
）或（1，﹣
）．
