题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)若点P为线段BC上一点(不与B,C重合),PM∥y轴,且PM交抛物线于点M,交x轴于点N,当△BCM的面积最大时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当△BCM的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得△CNQ为直角三角形,求点Q的坐标.
【答案】(1)C(0,3),A(﹣1,0),B(3,0);(2)当t=时,△BCM的面积最大,此时P点坐标为(
,
);(3)Q点的坐标为(1,
)或(1,
)或(1,
)或(1,﹣
).
【解析】试题分析:(1)在抛物线解析式中,令x=0可求得C点坐标,令y=0则可求得A、B的坐标;(2)由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y=﹣x+3,可设P点坐标为(t,﹣t+3),则可表示出M点坐标,则可求得PM的长,从而可用t表示出△BCM的面积,再利用二次函数的性质可求得当△BCM的面积最大时t的值,可求得P点坐标;
(3)由(2)可知N点坐标,设Q点坐标为(1,m),则可用m分别表示出QN、QC及CN,分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况,分别根据勾股定理可得到关于m的方程,可求得m的值,可求得Q点坐标.
试题解析:解:(1)在y=﹣x2+2x+3中,令x=0可得y=3,,∴C(0,3),令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=3或x=﹣1,∴A(﹣1,0),B(3,0);
(2)设直线BC的解析式为y=kx+b,则有: ,解得:
,∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.设P(t,﹣t+3),则M(t,﹣t2+2t+3),∴PM=(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)=﹣t2+3t,∴S△BCM=
PM(ON+BN)=
PMOB=
×3(﹣t2+3t)=﹣
(t﹣
)2+
,∵﹣
<0,∴当t=
时,△BCM的面积最大,此时P点坐标为(
,
)
(3)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴设Q(1,m),且C(0,3),N(,0),∴CN=
=
,CQ=
=
,NQ=
=
,∵△CNQ为直角三角形,∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况:
①当点C为直角顶点时,则有CN2+CQ2=NQ2 ,即()2+(m2﹣6m+10)=
+m2 ,解得m=
,此时Q点坐标为(1,
);
②当点Q为直角顶点时,则有NQ2+CQ2=CN2 ,即(m2﹣6m+10)+ +m2=(
)2 ,解得x=
或x=
,此时Q点坐标为(1,
)或(1,
);
③当点N为直角顶点时,则有NQ2+CN2=CQ2 ,即( )2+
+m2=m2﹣6m+10,解得m=﹣
,此时Q点坐标为(1,﹣
);
综上可知Q点的坐标为(1, )或(1,
)或(1,
)或(1,﹣
).
