Question

(满分l4分)如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点H．
(1)求证：AH·AB=AC²；
(2)若过点A的直线与弦CD(不含端点)相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC²；
(3)若过点A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC²是否成立(不必证明)．

Answer 1

(1)证明：连结CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．           ……2分

而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC．                                  ……4分
∴，即AH·AB=AC²．           ……5分
(2)证明：连结FB，易证△AHE∽△AFB，    ……8分
∴AE·AF=AH·AB，                       ……10分
∴AE·AF=AC²．                          ……12分
(也可连结CF，证△AEC∽△ACF)
(3)结论AP·AQ=AC²成立．

略