Question

(满分l2分)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．

(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

(1)证明：连结OB．
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．
∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
即∠PAO=∠PBO．                               ……2分
又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．                      ……4分
又∵OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．         ……5分
(说明：还可连结OB，OP，利用△OAP≌OBP来证明OB⊥PB)
(2)解：连结OP，交AB于点D．
∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．
∴OP垂直平分线段AB．                                             ……7分
∴∠PAO=∠PDA=90°．
又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．
∴，∴AP²=PO·DP．   
又∵OD=BC=，∴ PO(PO-OD)=AP²．
即：PO ²一PO=()²，解得PO=2．                                ……10分
在Rt△APO中，OA= =1，即⊙O 的半径为l．            ……12分
(说明：求半径时，还可证明△APA∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理)

略