题目内容

【题目】如图,二次函数 的图象与x轴交于点 A,B,与y轴交于点C.点P是该函数图象上的动点,且位于第一象限,设点P的横坐标为x.

(1)写出线段AC,BC的长度:AC= , BC=
(2)记△BCP的面积为S,求S关于x的函数表达式;
(3)过点P作PH⊥BC,垂足为H,连结AH,AP,设AP与BC交于点K,探究:是否存在四边形ACPH为平行四边形?若存在,请求出 的值;若不存在,请说明理由,并求出 的最大值.

【答案】
(1)解:AC= ,BC=
(2)解:设P(x, ),则有

= =


(3)解:过点P作PH⊥BC于H,

∴△ABC为直角三角形,即AC⊥BC;∴AC∥PH,

要使四边形ACPH为平行四边形,只需满足PH=AC=

=5,而 = =

所以不存在四边形ACPH为平行四边形

由△AKC∽△PHK,

= (当x=2时,取到最大值)


【解析】(1)根据二次函数解析式写出A、B、C点的坐标,利用勾股定理即可得出AC、BC的长。
(2)求三角形的面积常用割补法,题解过程中,利用坐标系先进行补,在分割减法,即S = S Δ O C P + S Δ O B P S Δ O B C
(3)首先判定四边形是否存在,根据(2)求出PH长,和(1)中AC的长,得出对应边无法相等,所以四边形不存在,根据相似求出的值。

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