Question

（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像经过点A（-1,1）和点B（2,2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．

小题1:（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
小题2:（2）求证：∠ABO=∠CBO；
小题3:（3）如果点P在直线AB上，且△POB
与△BCD相似，求点P的坐标．

Answer 1

小题1:（1）解：由题意，得………………………………………（1分）
解得………………………………………………………………（1分）
∴所求二次函数的解析式为．……………………（1分）
对称轴为直线x=1．
小题2:（2）证明：由直线OA的表达式y=-x，得点C的坐标为（1,-1）．…………（1分）
∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）
又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）
∴∠ABO=∠CBO．
小题3:（3）解：由直线OB的表达式y=x，得点D的坐标为（1,1）．………………（1分）
由直线AB的表达式，
得直线与x轴的交点E的坐标为（-4,0）．………………………………（1分）
∵△POB与△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）当∠BOP=∠BDC时，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（-4,0）．…………………………………………………（2分）
（ii）当∠BOP=∠BCD时，
由△POB∽△BCD，得．
而，，，∴．
又∵，∴．
作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．
∵PH∥BF，∴．
而BF=2，EF=6，∴，．
∴．
∴点P的坐标为（,）．………………………………………………（2分）
综上所述，点P的坐标为（-4,0）或（,）

略