Question

如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD:DB＝3:1，则折痕EF的长      ．

Answer 1

．

试题分析：如图，过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，

∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP为BC的中垂线. ∴OP必过弧BGC所在圆的圆心.
又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，∴PF必过弧BGC所在圆的圆心.
∴点P为弧BGC所在圆的圆心.
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD.
∴OG=AP.
而F点分⊙O的直径为3：1两部分，∴OF=1.
在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x=.
∴AG=2-（）=.∴DG=.∴OD=OG+DG=.
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（）²，∴BD=.
∴BC=2BD=．