Question

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F．

（1）求证：EF是⊙0的切线．（2）如果⊙0的半径为5,sin∠ADE=,求BF的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）BF=．

试题分析：（1）连结OD,AB为⊙O的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论；
（2）由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE=,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF．
试题解析：（1）连结OD,如图,

∵AB为⊙0的直径,
∴∠ADB="90°,"
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,即DB="DC,"
∵OA=OB,
∴OD为△ABC的中位线,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴OD⊥DE,
∴EF是⊙0的切线；
（2）∵∠DAC=∠DAB,
∴∠ADE=∠ABD,
在Rt△ADB中,sin∠ADE=sin∠ABD=,而AB=10,
∴AD=8,
在Rt△ADE中,sin∠ADE=,
∴AE=,
∵OD∥AE,
∴△FDO∽△FEA,
∴,即,
∴BF=．