Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
(1)如图①，当PA的长度等于    时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于     时，△PAD是等腰三角形；
(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S₁、S₂、S₃．坐标为（a，b），试求2 S₁ S₃－S₂²的最大值，并求出此时a，b的值．

Answer 1

（1）2，或；（2）当a=2时，b=2，2S₁S₃－S₂²有最大值是16.

试题分析：（1）因为由是直径，可得∠APB=90°，要使∠PAB=60,即要∠PBA="30" ，即PA=PB=2，当PA=PD、PD=DA时，△PAD是等腰三角形，作辅助线DOAP交PA于G，然后由正方形的性质、勾股定理易知△PAD△DGA，从而用对应边的相似比可得.
（2）要求2S₁ S₃－S₂²的最大值，只要先把S₁、S₂、S₃用a，b表示，再根据得到关系式，从而利用二次函数最大值概念求得.
试题解析：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=AB=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；
①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，

此时P位于正方形ABCD的中心O．
则PD⊥PA，PD=PA，
∴AD²=PD²+PA²=2PA²=16，
∴PA=2
②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，则△ADO≌△PDO，

∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=
∴AG=2x=，AP=
∴当PA的长度等于2或时，△PAD是等腰三角形.
（2）如图，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为E、F，延长EP交BC于点G，则PG⊥BC.

∵P点坐标为（a，b），
∴PE=b，PF=a，PG=4-a
在△PAD、△PAB和△PBC中，

∵AB为直径
∴∠APB=90°
∴，即
∴
∴当a=2时，b=2，2S₁S₃－S₂²有最大值是16.
考点: 圆的综合题．