题目内容
【题目】如图，四边形
是正方形，点
为对角线
的中点．
（1）问题解决：如图①，连接
，分别取
，的中点
，
，连接
，则与的数量关系是_____，位置关系是____；
（2）问题探究：如图②，
是将图①中的
绕点
按顺时针方向旋转
得到的三角形，连接
，点，分别为，
的中点，连接，
．判断
的形状，并证明你的结论；
（3）拓展延伸：如图③，是将图①中的绕点按逆时针方向旋转得到的三角形，连接，点，分别为，的中点，连接，．若正方形的边长为1，求的面积．
【答案】（1）
，
；（2）
的形状是等腰直角三角形，理由见解析；（3）
【解析】
（1）根据题意可得PQ为△BOC的中位线，再根据中位线的性质即可求解；
（2）连接
并延长交
于点
，根据题意证出
，
为等腰直角三角形，
也为等腰直角三角形，由
且
可得是等腰直角三角形；
（3）延长
交边于点
，连接
，
．证出四边形
是矩形，
为等腰直角三角形，
，再证出
为等腰直角三角形，根据图形的性质和勾股定理求出O′A，O′B和BQ的长度，即可计算出的面积．
解：（1）∵点P和点Q分别为
，
的中点，
∴PQ为△BOC的中位线，
∵四边形
是正方形，
∴AC⊥BO，
∴，；
故答案为：，；
（2）的形状是等腰直角三角形．理由如下：
连接并延长交于点，
由正方形的性质及旋转可得
，∠
，
是等腰直角三角形，
，
．
∴
，
．
又∵点
是
的中点，∴
．
∴
．
∴
，
．
∴
，∴
．
∴为等腰直角三角形．
∴
，
．
∴也为等腰直角三角形．
又∵点
为
的中点，
∴，且．
∴的形状是等腰直角三角形．
（3）延长交边于点，连接，．
∵四边形是正方形，
是对角线，
∴
．
由旋转得，四边形是矩形，
∴
，
．
∴为等腰直角三角形．
∵点是的中点，
∴
，
，
．
∴
．
∴
，
．
∴
．
∴
．
∴为等腰直角三角形．
∵是
的中点，
∴
，
．
∵
，
∴
，
，
∴
．
∴
．
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